Rappel

La forme générale d'une équation quadratique est: $$ax^{2}+bx+c=0$$

x: inconnu
a, b, c: constantes avec a != 0.

La solution générale d'une équation quadratique est: $$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$$

Le symbole plus-moins "±" indique que l'équation quadratique a deux solutions (l'une utilisant '+', l'autre utilisant '-'): $$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$$ Ces deux solutions s'appellent les racines de l'équation.

Géométriquement, ces racines représentent les valeurs x auxquelles toute parabole quadratique croise l'axe des abscisse. $$y = ax^{2} + bx + c \quad --> \quad x_{1},x_{2} \quad quand \quad y = 0$$

Démonstration

Notre objectif est de transformer notre équation en la forme suivante: $$x² + 2xb + b²$$ Comme: $$x² + 2xb + b² = (x + b)²$$ Nous pourrons ainsi appliquer la racine carrée sur le terme x².

Nous commençons par la forme générale: $$ax^{2}+bx+c=0$$ On multiplie chaque côté par 4a afin de transformer les premiers termes en carré (2ax)² $$4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0$$ Nous réarrangeons $$4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac$$

Nous pouvons poser ici X = 2ax (juste pour voir mieux): $$4a^{2}x^{2}+4abx=X^{2} + 2Xb$$ b² est le seul terme qui manque pour atteindre notre formule: x² + 2xb + b²,

Nous ajoutons donc b² aux deux côtés (on appelle cela 'compléter le carré'') $$4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=b^{2}-4ac$$ Nous utilisons notre formule pour transformer la partie gauche $$(2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac$$

Génial, nous pouvons maintenant utiliser l’opérateur racine carrée.

Nous prenons la racine carrée des deux côtés $$2ax+b=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}$$ Nous isolons x $$2ax=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}$$ $$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$$

Parfait!

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