Introduction
Comme pour les fonctions, nous allons vouloir étudier comment notre suite évolue : est-ce que la valeur augmente (croissante), diminue (décroissante), reste constante ou aucun des trois? Commençons par la définition de ces variations:
Une suite \(U_{n}\) est croissante si pour tout entier naturel n:
$$U_{n+1} \geqslant U_{n}$$
Une suite \(U_{n}\) est strictement croissante si pour tout entier naturel n:
$$U_{n+1} > U_{n}$$
Une suite \(U_{n}\) est constante si pour tout entier naturel n:
$$U_{n+1} = U_{n}$$
Note: pour la décroissance, il suffit d'inverser les signes.
Quand on demande « étudier la monotonie de la suite », il faut chercher dans quel cas nous sommes.
La suite \(U_{n}\) est (strictement) monotone si et seulement si elle est (strictement) croissante ou (strictement) décroissante.
Mais alors, comment on fait pour trouver la relation dans laquelle on est?
Pour cela, il suffit le plus souvent de calculer \(U_{n+1} - U_{n}\):
si \(U_{n+1}-U_{n} \geqslant 0\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\),
la suite \(U_{n}\) est croissante
si \(U_{n+1}-U_{n} \leqslant 0\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\),
la suite \(U_{n}\) est décroissante
si \(U_{n+1}-U_{n} = 0\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\),
la suite \(U_{n}\) est constante
Une suite peut n'être ni croissante, ni décroissante, (donc ni monotone), ni constante. C'est le cas, par exemple de la suite définie par \(U_{n} = (-1)^{n} \) dont les termes valent successivement : 1; -1; 1; -1; 1; ...
Note: l'étude des variations pour les suites arithmétiques et les suites géométriques sont plus longuement abordés sur leur page respectives.
Études de cas
\( U_{n+1} = U_n^2+U_n \)
Résolution
Considérons la suite \(U_n \) définie par récurrence par :
\( U_0 = 1 \)
\( U_{n+1} = U_n^2+U_n \)
On calcul la différence :
$$ U_{n+1} - U_n = U_n^2 + U_n - U_n = U_n^2 $$
Nous savons que la fonction x² est toujours positive ou nulle, ainsi:
$$ U_n^2\geq0 \quad et \quad U_{n+1}-U_n\geq0 $$
Nous pouvons donc conclure que la suite \(U_n \) est croissante.
\( U_n=\dfrac1n \)
Résolution
Considérons la suite \(U_n \) définie explicitement par :
\( U_n=\dfrac1n \) pour tout n > 0
On calcul la différence :
$$ U_{n+1} - U_n = \dfrac{1}{n+1} - \dfrac1n = \dfrac{n - (n+1)}{n(n+1)} = \dfrac{-1}{n(n+1)}$$
Or, pour tout entier naturel n non nul, on peut déduire que :
$$ \dfrac{-1}{n(n+1)}\leq0 \quad et \quad U_{n+1}-U_n\leq0 $$
Par conséquent, nous pouvons conclure que la suite \( U_n \) est décroissante.
\( U_{n+1} = U_n - 1 \)
Résolution
Considérons la suite \(U_n \) définie par récurrence par :
\( U_0 = 13 \)
\( U_{n+1} = U_n - 1 \)
On calcul la différence :
$$ U_{n+1} - U_n = U_n - 1 - U_n = -1 $$
Ainsi, pour tout n :
$$ -1 \lt 0 \quad et \quad U_{n+1}-U_n \lt 0 $$
Nous pouvons conclure que la suite \(U_n \) est strictement décroissante.
Tada ! On a vu que pour étudier le sens de variation d'une suite, il nous faut simplement calculer la différence entre le terme "n+1" et son prédecesseur "n". Nous allons pouvoir aborder les notions de limite et de convergence, ou alors mettre en pratique ce que nous venons de voir avec les suites arithmétiques et les suites géométriques.
(Remonter au début)